Ukończył studia na Wydziale Cybernetyki WAT w Warszawie. Podczas studiów zaczął pisać wiersze i teksty piosenek. Wywodzi się ze środowiska piosenki studenckiej określanej mianem „krainy łagodności”. Współzałożyciel grupy „Nasza Basia Kochana”, z którą w roku 1976 wygrał Festiwal Piosenki Studenckiej w Krakowie.
Napisał ponad tysiąc piosenek, współpracując z najwybitniejszymi polskimi kompozytorami i wokalistami m.in. Grażyną Łobaszewską, Edytą Geppert, Edytą Górniak, Marylą Rodowicz, Jerzym Filarem, Sewerynem Krajewskim, Krzesimirem Dębskim, Włodzimierzem Korczem, Andrzejem Zauchą i Ryszardem Rynkowskim. Pięciokrotnie piosenki z jego tekstami wygrywały Festiwal Polskiej Piosenki w Opolu, m.in. „Jaka róża taki cierń” w wykonaniu Edyty Geppert w roku 1984 czy „Wypijmy za błędy” w wykonaniu Ryszarda Rynkowskiego w roku 1989. W roku 1994 jego piosenka „To nie ja byłam Ewą” w wykonaniu Edyty Górniak zajęła II miejsce na Festiwalu Eurowizji w Dublinie. W roku 2015 J. Cygan wrócił do Opola, gdzie na 52 Krajowym Festiwalu Polskiej Piosenki jego piosenka „Wszystko ma swój czas” w wykonaniu grupy „Perfect” zdobyła SuperJedynkę 2015 jako SuperPrzebój. Wtedy też J. Cygan odsłonił swoją Gwiazdę w opolskiej Alei Gwiazd.
Osobnym rozdziałem w twórczości Jacka Cygana są piosenki dla dzieci. Przez dziesięć lat prowadził telewizyjny i estradowy program „Dyskoteka Pana Jacka” /Dżeka/. Napisał dla dzieci kilkadziesiąt piosenek współpracując między innymi z Majką Jeżowską, Anną Jurksztowicz, Pawłem Stasiakiem oraz młodymi wokalistami, takimi jak Magda Fronczewska czy Krzysztof Antkowiak. Kontynuacją tej twórczości dla dzieci jest książka J. Cygana „Cyferki”, która ukazała się w roku 2011 w krakowskim Wydawnictwie „Czerwony Konik” z pięknymi ilustracjami Oli Woldańskiej-Płocińskiej.
W styczniu roku 2014 odbyła się w Teatrze STU w Krakowie premiera sztuki autorstwa Jacka Cygana „Kolacja z Gustavem Klimtem” w reżyserii Krzysztofa Jasińskiego. W sztuce grają: Małgorzata Foremniak, Piotr Polk oraz Ewa Porębska.
W październiku 2014 roku ukazała się w Wydawnictwie Znak książka Jacka Cygana „Życie jest piosenką” zawierająca 40 tekstów jego piosenek wraz z historią ich powstania. W tym samym miesiącu J. Cygan przygotował spektakl w Teatrze Polskim im. Arnolda Szyfmana w Warszawie zatytułowany „CYGAN w POLSKIM – Życie jest piosenką”, którego jest reżyserem i autorem scenariusza. W spektaklu piosenki J. Cygana wykonują: Joanna Trzepiecińska, Lidia Sadowa, Natalia Sikora, Szymon Kuśmider, Andrzej Seweryn oraz sam Autor.